哈密顿量为什么是分块对角的

设体系哈密顿量为 \(H\)，存在一组幺正对称操作 \(U_R\)，其中 \(R\in G\)。如果 \(U_R\) 保持哈密顿量不变，则有

\[ U_R^\dagger H U_R=H. \]

因为 \(U_R\) 是幺正算符，\( U_R^\dagger=U_R^{-1}\) ，所以有：

\[ H U_R=U_R H. \]

也就是说，哈密顿量 \(H\) 与所有对称操作 \(U_R\) 对易：

\[ [H,U_R]=0,\quad \forall R\in G. \]

这些保持 \(H\) 不变的操作 \(U_R\) 构成一个群 \(G\)，称为体系的对称群。

设某个能级 \(E\) 是 \(d\) 重简并（degenerate）的，对应本征函数为

\[ H\psi^a=E\psi^a,\qquad a=1,2,\dots,d. \]

对本征方程两边作用 \(U_R\)，利用 \(H U_R=U_R H\)，有

\[ H(U_R\psi^a)=U_RH\psi^a=E(U_R\psi^a). \]

\(U_R\psi^a\) 仍然是本征值为 \(E\) 的 \(H\) 的本征函数。

因此，同一能级 \(E\) 的简并本征函数张成的空间

\[ V_E=\operatorname{span}\{\psi^1,\psi^2,\dots,\psi^d\} \]

在所有群操作 \(U_R\) 下保持不变。也就是说，\(V_E\) 是群 \(G\) 的一个不变子空间。

所以 \(U_R\psi^a\) 可以重新写成这组简并态的线性组合：

\[ U_R\psi^a=\sum_{b} \psi^b D(R)_{ba}. \]

因为有 \(U_R U_S = U_{RS}\) ，所以满足 \(D(R)D(S) = D(RS)\) 。 \(D(R)\) 就是群元素 \(R\) 在这组简并的本征函数基 \(\psi^a\) 下的表示矩阵。即，这个 \(d\) 维的空间承载了群 \(G\) 的一个 \(d\) 维表示。（ \(U_R\) 是作用在整个希尔伯特空间上的对称操作算符，而 \(D(R)\) 是 \(U_R\) 限制在这个 \(d\) 维简并子空间以后得到的矩阵表示。）

因为 \([H,U_R]=0,\quad \forall R\in G\) ，我们先讨论不可约表示的情形。

在某个不可约表示空间内部，\(H\) 与该不可约表示的所有表示矩阵都对易。根据舒尔引理，如果 \(D^i(R)\) 是不可约表示，那么在这个不可约表示空间内，任何与所有 \(D^i(R)\) 对易的矩阵都只能是单位矩阵的倍数：

\[ H_i=E_iI \]

这里 \(d_i\) 是不可约表示 \(D^i\) 的维数。下标 \(i\) 表示这个表示是在这个不可约表示内的能量。在同一个不可约表示内部，所有基函数具有相同能量 \(E_i\)。所以如果某个能级对应一个 \(d_i\) 维不可约表示，那么这个能级至少有 \(d_i\) 重简并。

即，一个 \(d\) 重简并能级对应一个 \(d\) 维表示。

例如，如果体系的对称群只有一维不可约表示，这个体系就不会出现多重简并。如果存在二维不可约表示，那么可能出现二重简并。

如果某个表示 \(D(R)\) 是可约的，就可以通过相似变换化成不可约表示的直和：

\[ D(R)=D^{(1)}(R)\oplus D^{(2)}(R)\oplus \cdots . \]

这个时候矩阵形式就是块对角：

\[\begin{split} D(R)= \begin{pmatrix} D^{(1)}(R) & 0 & \cdots \\ 0 & D^{(2)}(R) & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{pmatrix}. \end{split}\]

因为 \(H\) 与所有 \(D(R)\) 对易，所以在每个不可约块内部，根据舒尔引理可以写出 \(H\) ：

\[\begin{split} H= \begin{pmatrix} E_1 I_{d_1} & 0 & \cdots \\ 0 & E_2 I_{d_2} & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{pmatrix}. \end{split}\]

但是一个 \(d\) 重简并能级不一定是一个 \(d\) 维不可约表示。它确实是一个 \(d\) 维表示，如果这个表示不可约，那么简并度就是该不可约表示的维数。如果它可约，说明这个能级空间包含多个不可约表示，若这些不同不可约表示刚好有相同能量，那可能是偶然简并（accidental degeneracy），不一定是对称群强制的。