Bloch 定理的群论证明

对于一维单原子晶格，晶格常数为 $a$，共有 $N$ 个原子。势能满足晶格周期性 $V(x+a)=V(x)$ 。设有一平移操作 $T$ 使坐标平移一个晶格常数：

$$ Tx = x+a $$

对波函数作用也应平移 $a$ ，也就是 $T\psi(x)=\psi(x+a)$ 。

因为晶格周期性 $V(x+a)=V(x)$ 不改变势能，动能项 $d^2/dx^2$ 本身也不随坐标平移改变，所以有：

$$ HT=TH=[H,T]=0 $$

因此哈密顿量

$$ H=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x) $$

在平移操作下保持不变。也就是说，平移操作是体系的对称操作。 哈密顿量和平移算符有共同本征函数 $\psi(x)$。写出 $H$ 的本征方程：

$$ H\psi(x)=E\psi(x) $$

和$T$ 的本征方程，设这个本征值为 $\zeta$ ：

$T\psi(x)=\zeta \psi(x)$ 利用周期性： $T\psi(x)=\psi(x+a) \Longrightarrow \psi(x+a)=\zeta\psi(x)$

接下来确定 $\zeta$ 的值。对于含有 $N$ 个原子的周期晶格，采用周期性边界条件，设 $E$ 为恒元，于是 $T^N=E$ 。

因此所有的平移操作构成一个群 $G$ ：

$$ G=\{E,T,T^2,\cdots,T^{N-1}\} $$

因为一维的平移操作可以互换顺序，又根据群本身的封闭性，这个群满足 $T^mT^n=T^{m+n}$ ，并且任意两个元素都对易， $T^mT^n=T^nT^m$ ，所以 $G$ 是 Abel 群。

Abel 群的不可约表示都是一维表示。因此在某个不可约表示 $D(T)$ 中，群元 $T$ 只能表示成一个数 $\zeta$，$D(T)=\zeta$ 。

因为 $T^N=E$ ，所以表示矩阵（一维表示矩阵也就是一个数）也必须满足 $D(T^N)=D(E)$ ，即 $\zeta^N=1$ 。

这样就求出 $\zeta$ ，为 $N$ 次单位根： $\zeta=\operatorname{exp}(i2\pi n/N)$ ，其中 $n=0,1,2,\cdots,N-1$ 。

晶体总长度为 $L=Na$ ，

定义波矢 $k$ ：

$$ k=\frac{2\pi n}{Na}=\frac{2\pi n}{L} \Longrightarrow \zeta=e^{ika} $$

所以平移算符的本征方程就是 $\psi(x+a)=e^{ika}\psi(x)$ 。

令函数 $u(x)=e^{-ikx}\psi(x)$ ：

则

$$ u(x+a)=e^{-ik(x+a)}\psi(x+a) $$

代入本征方程 $\psi(x+a)=e^{ika}\psi(x)$ ，得：

$$ u(x+a)=e^{-ik(x+a)}e^{ika}\psi(x) $$

发现 $u(x+a)=e^{-ikx}\psi(x)$ 具有周期性， $u_k(x+a)=u_k(x)$ 。

因此 $u_k(x)$ 是一个具有晶格周期的函数。

综上，波函数可以写成

$$ \psi_k(x)=e^{ikx}u_k(x) $$

其中

$$ u_k(x+a)=u_k(x) $$

这就是 Bloch 定理。

因为 $e^{i\left(k+\frac{2\pi}{a}\right)a}=e^{ika}e^{i2\pi}=e^{ika}$ ，也就是 $k$ 和 $k+\frac{2\pi}{a}$ 对应同一个表示，

所以只需让 $k$ 取值范围的长度限制在 $2\pi/a$ 即可。布里渊区 $-\frac{\pi}{a}<k\leq \frac{\pi}{a}$ ， $k$ 取值对应的就是平移群的一维不可约表示的编号。