Bloch 定理的群论证明

对于一维单原子晶格，晶格常数为 \(a\)，共有 \(N\) 个原子。势能满足晶格周期性 \(V(x+a)=V(x)\) 。设有一平移操作 \(T\) 使坐标平移一个晶格常数：

\[Tx = x+a\]

对波函数作用也应平移 \(a\) ，也就是 \(T\psi(x)=\psi(x+a)\) 。

因为晶格周期性 \(V(x+a)=V(x)\) 不改变势能，动能项 \(d^2/dx^2\) 本身也不随坐标平移改变，所以有：

\[ HT=TH=[H,T]=0 \]

因此哈密顿量

\[ H=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x) \]

在平移操作下保持不变。也就是说，平移操作是体系的对称操作。 哈密顿量和平移算符有共同本征函数 \(\psi(x)\)。写出 \(H\) 的本征方程：

\[ H\psi(x)=E\psi(x) \]

和\(T\) 的本征方程，设这个本征值为 \(\zeta\) ：

\[ T\psi(x)=\zeta \psi(x) \]

利用周期性： $\( T\psi(x)=\psi(x+a) \Longrightarrow \psi(x+a)=\zeta\psi(x) \)$

接下来确定 \(\zeta\) 的值。对于含有 \(N\) 个原子的周期晶格，采用周期性边界条件，设 \(E\) 为恒元，于是 \(T^N=E\) 。

因此所有的平移操作构成一个群 \(G\) ：

\[ G=\{E,T,T^2,\cdots,T^{N-1}\} \]

因为一维的平移操作可以互换顺序，又根据群本身的封闭性，这个群满足 \(T^mT^n=T^{m+n}\) ，并且任意两个元素都对易， \(T^mT^n=T^nT^m\) ，所以 \(G\) 是 Abel 群。

Abel 群的不可约表示都是一维表示。因此在某个不可约表示 \(D(T)\) 中，群元 \(T\) 只能表示成一个数 \(\zeta\)，\(D(T)=\zeta\) 。

因为 \(T^N=E\) ，所以表示矩阵（一维表示矩阵也就是一个数）也必须满足 \(D(T^N)=D(E)\) ，即 \(\zeta^N=1\) 。

这样就求出 \(\zeta\) ，为 \(N\) 次单位根： \(\zeta=\operatorname{exp}(i2\pi n/N)\) ，其中 \(n=0,1,2,\cdots,N-1\) 。

晶体总长度为 \(L=Na\) ，

定义波矢 \(k\) ：

\[ k=\frac{2\pi n}{Na}=\frac{2\pi n}{L} \Longrightarrow \zeta=e^{ika} \]

所以平移算符的本征方程就是 \(\psi(x+a)=e^{ika}\psi(x)\) 。

令函数 \(u(x)=e^{-ikx}\psi(x)\) ：

则

\[ u(x+a)=e^{-ik(x+a)}\psi(x+a) \]

代入本征方程 \(\psi(x+a)=e^{ika}\psi(x)\) ，得：

\[ u(x+a)=e^{-ik(x+a)}e^{ika}\psi(x) \]

发现 \(u(x+a)=e^{-ikx}\psi(x)\) 具有周期性， \(u_k(x+a)=u_k(x)\) 。

因此 \(u_k(x)\) 是一个具有晶格周期的函数。

综上，波函数可以写成

\[ \psi_k(x)=e^{ikx}u_k(x) \]

其中

\[ u_k(x+a)=u_k(x) \]

这就是 Bloch 定理。

因为 \(e^{i\left(k+\frac{2\pi}{a}\right)a}=e^{ika}e^{i2\pi}=e^{ika}\) ，也就是 \(k\) 和 \(k+\frac{2\pi}{a}\) 对应同一个表示，

所以只需让 \(k\) 取值范围的长度限制在 \(2\pi/a\) 即可。布里渊区 \(-\frac{\pi}{a}<k\leq \frac{\pi}{a}\) ， \(k\) 取值对应的就是平移群的一维不可约表示的编号。