群的不可约表示¶

总结¶

正交定理： \(\boxed{\sum_{R\in G}[D^i(R)_{\mu\nu}]^*D^j(R)_{\mu'\nu'}=\frac{g}{m_i}\delta_{ij}\delta_{\mu\mu'}\delta_{\nu\nu'}}\)
所有不等价不可约表示的维数的平方和不大于群的阶： \(\boxed{\sum_i m_i^2 \le g}\)
特征标正交关系： \(\boxed{\chi^i(R)=\operatorname{Tr}D^i(R)=\sum_\mu D^i(R)_{\mu\mu}}\)
所有不等价不可约表示个数不大于共轭类个数 \(\boxed{\sum_i 1 \le g_c}\)
两表示等价 \(\iff\) 特征标相同
\(\sum_{R\in G}[\chi(R)]^*\chi(R)=g \Longrightarrow\) 不可约表示
所有一维表示均不可约，因为 \(|\chi(R)|=1\)
非恒等的不可约表示，根据正交关系，\(\sum_R \chi(R)=0\)

不可约表示¶

设 \(D(G)=\{D(R)\}\) 是群 \(G\) 在 \(n\) 维表示空间 \(V_n\) 上的一个表示。如果 \(V_n\) 中不存在关于群 \(G\) 的非平庸不变子空间 \(V_m\)，其中 \(m<n\) ，那么 \(D(G)\) 就是不可约表示。

不变子空间即，对任意 \(R\in G\) ，都有 \(D(R)V_m\subset V_m\) ，也就是说，群元作用以后，子空间里的矢量不会跑出这个子空间。不存在这样的 \(V_m\)，表示就是不可约表示。只能在 \(V\) 中找到零空间。

对于有限群，若表示可约，则完全可约，也就是可以通过同一个相似变换矩阵 \(X\) 化为若干不可约表示的直和：

\[ X^{-1}D(R)X=\bigoplus_j a_jD^j(R) \]

其中 \(a_j\) 是不可约表示 \(D^j(R)\) 在 \(D(R)\) 中出现的次数，叫重数。

不可约表示不是说每一个 \(D(R)\) 单独都不能块对角化，而是说不能用同一个 \(X\) 让所有 \(D(R)\) 同时块对角化。不排除个别群元在不可约表示中的表示矩阵具有分块对角的形式。

定理与重要结论¶

Schur's Lemma I¶

设 \(D(G)\) 是不可约表示。如果一个非零矩阵 \(X\) 满足 \(XD(R)=D(R)X, \forall R\in G\) ，那么 \(X\) 必为常数矩阵：

\[\begin{split} X=cI = \begin{pmatrix} c & & \\ & \ddots & \\ & & c \\ \end{pmatrix} \end{split}\]

说明：

给出一个不可约表示的所有矩阵，找到一个矩阵 \(X\) 与它们全部对易，那么 \(X\) 就只能为 \(cI\) ，强调的是唯一性。 \(cI\) 与任意矩阵对易本身是trivial的。

例如， \(D_3\) 的二维表示中，

\[\begin{split} D(r) = \begin{pmatrix} 0&-1 \\ 1&0 \\ \end{pmatrix}, D(s) = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1\\ \end{pmatrix} \end{split}\]

若要找一个矩阵只和 \(D(r)\) 对易，那么满足 \(A=\mathrm{diag}(a,d)\) 即可。但是还要与 \(D(s)\) 对易，就必须使得 \(a=d\) ，从而满足Schur引理。

Schur's Lemma II¶

设 \(D^i(G)=\{D^i(R)\} 和 D^j(G)=\{D^j(R)\}\) 是群 \(G={R}\) 的两个不等价不可约表示，为数分别为 \(d_i\) 和 \(d_j\) ，如果 \(d_i \times d_j\) 矩阵 \(X\) 满足 \(D^i(R)X=XD^j(R), \forall R\in G\) ，那么 \(X=0\)。

也就是说，如果两个变换是等价的，那么可以通过相似变换 \(D'(R)=X^{-1}D(R)X\) 联系在一起，现在既然不是等价的，也不是可约的，就不能这么做，维数也不满足矩阵的乘法条件。因此，就把 \(X\) 乘到左边，因此只能有 \(X=0\) 。

Great Orthogonality Theorem¶

Schur引理的推论。

设群 \(G\) 的阶为 \(g\) ，两个不等价不可约幺正表示为 \(D^i(G), D^j(G)\) ,维数分别为 \(m_i, m_j\) ，

则矩阵元满足：

\[ \sum_{R\in G} [D^i(R)_{\mu\nu}]^* D^j(R)_{\mu'\nu'} = \frac{g}{m_i} \delta_{ij}\delta_{\mu\mu'}\delta_{\nu\nu'} \]

这就是正交定理。

这里可以把每个矩阵元

\[ D^i(R)_{\mu\nu} \]

看成一个关于群元 \(R\) 的群函数。所以它等价于一个 \(g\) 维向量：

\[ \begin{pmatrix} D^i(R_1)_{\mu\nu}, D^i(R_2)_{\mu\nu}, \dots, D^i(R_g)_{\mu\nu} \end{pmatrix} \]

正交定理就是说：不同不可约表示、不同矩阵元，对应的这些 \(g\) 维向量彼此正交，也就是：

\[\begin{split} \begin{pmatrix} D^i(R_1)_{\mu\nu}, D^i(R_2)_{\mu\nu}, \dots, D^i(R_g)_{\mu\nu} \end{pmatrix}^* \begin{pmatrix} D^j(R_1)_{\mu\nu}\\ D^j(R_2)_{\mu\nu}\\ \vdots\\ D^j(R_g)_{\mu\nu}\\ \end{pmatrix} = \frac{g}{m_i}\delta_{ij}\delta_{\mu\mu'}\delta_{\nu\nu'} \end{split}\]

GOT 推论 1 ：维数平方和不大于群的阶¶

一个 \(m_i\) 维不可约表示 \(D^i(G)\) 有 \(m_i^2\) 个矩阵元：

\[ D^i(R)_{\mu\nu},\qquad \mu,\nu=1,\dots,m_i \]

每一个矩阵元都给出一个群空间矢量，也就是把这些矩阵元当作空间的基矢。正交定理说明这些矢量彼此正交，所以它们线性无关。群空间维数是群的阶 \(g\) ，因此所有不等价不可约表示提供的线性无关矢量总数不能超过 \(g\)：

\[ \sum_i m_i^2\le g \]

加入完备性条件可得：

\[ \sum_i m_i^2=g \]

GOT 推论 2 ：不可约表示的特征标正交¶

正交定理，令 \(\mu=\nu,\mu'=\nu'\) ，再对 \(\mu,\mu'\) 求和，就得到特征标正交关系：

\[ \sum_{R\in G} [\chi^i(R)]^* \chi^j(R) = g\delta_{ij} \]

特征标就是表示矩阵的trace，

\[ \chi^i(R)=\operatorname{Tr}D^i(R) =\sum_\mu D^i(R)_{\mu\mu} \]

也就是把 \(\chi^i(R)\) 看作群空间的基矢，是正交的。

除恒等表示外，有限群任何不可约表示的特征标对群元求和都等于零。恒等表示的特征标是 \(\chi^i(R)\equiv 1\) ，若 \(\chi^j(R)\) 是任意非恒等不可约表示的特征标，则 \(i\ne j\)。由特征标正交关系：

\[ \sum_{R\in G} [\chi^i(R)]^* \chi^j(R) = g\delta_{ij}=0 \]

因为 \(\chi^i(R)=1\) ，所以 \(\sum_{R\in G}\chi^j(R)=0\) 。

GOT 推论 3 ：不等价不可约表示个数不大于共轭类个数¶

有限群不等价不可约表示的个数不能大于群的类的个数 \(g_c\) ，即：

\[ \sum_i 1 \le g_c \]

由于特征标是类函数，同一共轭类中的元素特征标相同。若第 \(\alpha\) 类中任一元素的特征标为 \(\chi_\alpha^i\) ，则对第 \(i\) 个不可约表示，构造特征标矢量：

\[ V_i=\sum_{R\in G}\chi^i(R)R \]

因为同一类中的元素特征标相同，所以可以把它按类合并，把 \(V_i\) 写成类矢量 \(L_\alpha\) 的展开：

\[ V_i = \sum_{\alpha=1}^{g_c}\chi_\alpha^i L_\alpha \]

其中 \(L_\alpha=R+R'+\dots\) 表示第 \(\alpha\) 个类中所有群元的和。

因此，\(V_i\) 不只是群空间中的矢量，也是类空间中的矢量。类空间的基可以取为 \(L_1,L_2,\dots,L_{g_c}\) ，于是类空间的维数为 \(g_c\) 。

另一方面，由特征标正交关系：

\[ \sum_{R\in G}[\chi^i(R)]^*\chi^j(R)=g\delta_{ij} \]

可知不同不可约表示对应的特征标矢量 \(V_i\) 彼此正交。正交的矢量必定线性无关，一个不可约表示 \(D^i(G)\) 提供一个特征标矢量 \(V_i\) 。如果不等价不可约表示有很多个，就会提供同样多个线性无关的 \(V_i\) 。

\(V_i\) 全部都在 \(g_c\) 维类空间里，所以它们的个数不能超过类空间维数，也就是：不等价不可约表示个数 \(\le g_c\)

\[ \sum_i 1\le g_c \]

总结：

\[ \chi^i(R)\text{ 是类函数} \Rightarrow V_i=\sum_\alpha \chi_\alpha^i L_\alpha \]

所以 \(V_i\) 属于 \(g_c\) 维类空间。

又因为

\[ \sum_R[\chi^i(R)]^*\chi^j(R)=g\delta_{ij} \]

所以不同 \(V_i\) 正交，因而线性无关。

两个表示等价和特征标完全相同是充要条件¶

有限群的任意表示是完全可约表示：

\[ X^{-1}D(R)X=\bigoplus_j a_jD^j(R) \]

取trace，因为取trace后乘法顺序可以调换，就得到

\[ \chi(R)=\sum_j a_j\chi^j(R) \]

都乘以 \([\chi^i(R)]^*\) ，并对 \(R\) 求和，然后代入正交关系 \(\sum_{R\in G}[\chi^i(R)]^*\chi^j(R)=g\delta_{ij}\) ，可以求出重数 \(a_j\) ,

\[ a_j= \frac{1}{g} \sum_R [\chi^j(R)]^* \chi(R) \]

\(a_j\) 完全由特征标决定。所以如果两个表示 \(D(R)\) 和 \(D'(R)\) 的特征标相同：

\[ \chi(R)=\chi'(R),\qquad \forall R\in G \]

那么它们分解成不可约表示时，每个不可约表示的重数都相同，所以两个表示等价。

反过来，如果两个表示等价：

\[ D'(R)=X^{-1}D(R)X \]

那么相似变换不改变迹，所以 \(\chi'(R)=\chi(R)\) ，于是：

\[ D(R)\simeq D'(R) \iff \chi(R)=\chi'(R),\ \forall R\in G \]

用特征标判断表示是否可约¶

\[ \sum_R\chi^*(R)\chi(R)=g \Rightarrow D(R)\text{ 不可约} \]

\[ \sum_R\chi^*(R)\chi(R)>g \Rightarrow D(R)\text{ 可约} \]

例如 \(D_3\) 的某个二维表示特征标为

\[ \chi(E)=2,\qquad \chi(D)=\chi(F)=-1,\qquad \chi(A)=\chi(B)=\chi(C)=0 \]

所以

\[ \sum_R\chi^*(R)\chi(R) = 2^2+(-1)^2+(-1)^2+0^2+0^2+0^2 =6 \]

而 \(D_3\) 的阶为

\[ g=6 \]

所以这个二维表示是不可约表示。

如果某个三维表示满足

\[ \sum_R\chi^*(R)\chi(R)=12>6 \]

它就是可约表示。事实上，所有三维表示都是可约的。根据推论1，维数平方和不大于群的阶， \(D_3\) 群有 \(6\) 个群元，所以最高维数的不可约表示为二维表示。