# 哈密顿量为什么是分块对角的

设体系哈密顿量为 $H$，存在一组幺正对称操作 $U_R$，其中 $R\in G$。如果 $U_R$ 保持哈密顿量不变，则有

$$
U_R^\dagger H U_R=H.
$$

因为 $U_R$ 是幺正算符，$
U_R^\dagger=U_R^{-1}$ ，所以有：

$$
H U_R=U_R H.
$$

也就是说，哈密顿量 $H$ 与所有对称操作 $U_R$ 对易：

$$
[H,U_R]=0,\quad \forall R\in G.
$$

这些保持 $H$ 不变的操作 $U_R$ 构成一个群 $G$，称为体系的对称群。


设某个能级 $E$ 是 $d$ 重简并（degenerate）的，对应本征函数为

$$
H\psi^a=E\psi^a,\qquad a=1,2,\dots,d.
$$

对本征方程两边作用 $U_R$，利用 $H U_R=U_R H$，有

$$
H(U_R\psi^a)=U_RH\psi^a=E(U_R\psi^a).
$$

$U_R\psi^a$ 仍然是本征值为 $E$ 的 $H$ 的本征函数。

因此，同一能级 $E$ 的简并本征函数张成的空间

$$
V_E=\operatorname{span}\{\psi^1,\psi^2,\dots,\psi^d\}
$$

在所有群操作 $U_R$ 下保持不变。**也就是说，$V_E$ 是群 $G$ 的一个不变子空间。**

所以 $U_R\psi^a$ 可以重新写成这组简并态的线性组合：

$$
U_R\psi^a=\sum_{b} \psi^b D(R)_{ba}.
$$

因为有 $U_R U_S = U_{RS}$ ，所以满足 $D(R)D(S) = D(RS)$ 。 $D(R)$ 就是群元素 $R$ 在这组简并的本征函数基 $\psi^a$ 下的表示矩阵。即，这个 $d$ 维的空间承载了群 $G$ 的一个 $d$ 维表示。（ $U_R$ 是作用在整个希尔伯特空间上的对称操作算符，而 $D(R)$ 是 $U_R$ 限制在这个 $d$ 维简并子空间以后得到的矩阵表示。）


因为 $[H,U_R]=0,\quad \forall R\in G$ ，我们先讨论不可约表示的情形。

在某个不可约表示空间内部，$H$ 与该不可约表示的所有表示矩阵都对易。根据舒尔引理，如果 $D^i(R)$ 是不可约表示，那么在这个不可约表示空间内，任何与所有 $D^i(R)$ 对易的矩阵都只能是单位矩阵的倍数：


$$
H_i=E_iI
$$

这里 $d_i$ 是不可约表示 $D^i$ 的维数。下标 $i$ 表示这个表示是在这个不可约表示内的能量。在同一个不可约表示内部，所有基函数具有相同能量 $E_i$。所以如果某个能级对应一个 $d_i$ 维不可约表示，那么这个能级至少有 $d_i$ 重简并。

即，一个 $d$ 重简并能级对应一个 $d$ 维表示。

例如，如果体系的对称群只有一维不可约表示，这个体系就不会出现多重简并。如果存在二维不可约表示，那么可能出现二重简并。

如果某个表示 $D(R)$ 是可约的，就可以通过相似变换化成不可约表示的直和：

$$
D(R)=D^{(1)}(R)\oplus D^{(2)}(R)\oplus \cdots .
$$

这个时候矩阵形式就是块对角：

$$
D(R)=
\begin{pmatrix}
D^{(1)}(R) & 0 & \cdots \\
0 & D^{(2)}(R) & \cdots \\
\cdots & \cdots & \cdots
\end{pmatrix}.
$$

因为 $H$ 与所有 $D(R)$ 对易，所以在每个不可约块内部，根据舒尔引理可以写出 $H$ ：

$$
H=
\begin{pmatrix}
E_1 I_{d_1} & 0 & \cdots \\
0 & E_2 I_{d_2} & \cdots \\
\cdots & \cdots & \cdots
\end{pmatrix}.
$$

但是一个 $d$ 重简并能级不一定是一个 $d$ 维不可约表示。它确实是一个 $d$ 维表示，如果这个表示不可约，那么简并度就是该不可约表示的维数。如果它可约，说明这个能级空间包含多个不可约表示，若这些不同不可约表示刚好有相同能量，那可能是偶然简并（accidental degeneracy），不一定是对称群强制的。