多极子展开
直角坐标系的多极子展开
在空间内，在电荷分布外有一观察点，坐标为$\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)=(x,y,z)$；电荷密度为$\rho$，设在有电荷分布的区域内一点（源点）为$\mathbf{x}’=(x_1’,x_2’,x_3’)=(x’,y’,z’)$，它们的长度分别是$r=\lvert\mathbf{x}\rvert,r’=\lvert\mathbf{x’}\rvert$，那么在$\mathbf{x}$处的电势为：
$$
\boxed{
\Phi(x)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|}\,d^3x\
}
$$
直角坐标系下也就是$\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)$，把分母$1/\lvert\mathbf{x}-\mathbf{x}’\rvert$对$\mathbf{x}’$作多变量的泰勒展开。这也是多极展开展开的对象，后面我们用球坐标也是展开这个分母。这么展开的前提自然就是观察点在源点外面。
利用$1/\lvert\mathbf{x}\rvert=1/\sqrt{x_ix_i}=1/r$以及爱因斯坦求和约定，有：
$$
\Phi(\mathbf{x})=
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}
\left[
\frac{1}{r}\int \rho(\mathbf{x}')\,d^3x'
-\partial_i\frac{1}{r}\int x_i'\rho(\mathbf{x}')\,d^3x'
+\frac{1}{2!}\partial_i\partial_j\frac{1}{r}\int x_i'x_j'\rho(\mathbf{x}')\,d^3x'
+\cdots
\right]
$$
其中$\partial_i=\partial/\partial x_i$，电势我们保留前三项，也就是精确到四极矩。现在求这几个偏导数。
首先求$\partial_ir$：
$$
\begin{aligned}
\partial_ir
&=\partial_i(x_kx_k)^{1/2}\\
&=\frac{1}{2}(x_kx_k)^{-1/2}\cdot2x_i\\
&=\frac{x_i}{r}
\end{aligned}
$$
然后求$\partial_i\frac{1}{r}$：
$$
\begin{aligned}
\partial_i\frac{1}{r}
&=-\frac{1}{r^2}\partial_ir\\
&=-\frac{x_i}{r^3}
\end{aligned}
$$
再来求$\partial_i\partial_j\frac{1}{r}$：
$$
\begin{aligned}
\partial_i\partial_j\frac{1}{r}
&=\partial_i(-x_jr^{-3})\\
&=-(\partial_ix_j)r^{-3}-x_j\partial_i(r^{-3})\\
&=-\delta_{ij}r^{-3}-x_j\cdot(-3r^{-4})\partial_ir\\
&=-\delta_{ij}r^{-3}+3x_ix_jr^{-5}\\
&=\frac{3x_ix_j-r^2\delta_{ij}}{r^{5}}\\
\end{aligned}
$$
把它们代回电势，得到：
$$
\Phi(\mathbf{x})=
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\rho(\mathbf{x}')
\left[
\frac{1}{r}+\frac{x_i'x_i}{r^3}+\frac{1}{2}x_i'x_j'
\frac{3x_ix_j-r^2\delta_{ij}}{r^5}+\cdots
\right]d^3x'
$$
把观察点坐标$x_i$，$r$拿出来，先看第一项：
发现第一项里面电荷密度对体积积分就是总电荷，所以总电荷为
$$
q=
\int
\rho(\mathbf{x}')d^3x'
$$
所以第一项为：
$$
\frac{1}{r}\int\rho(\mathbf{x}')d^3x'=\frac{q}{r}
$$
在远处只保留这一项时，整个电荷分布看起来像一个点电荷，也就是$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r}$。
第二项，定义偶极矩（一阶矩，是个一阶张量，或者你说是矢量也可以）：
$$
p_i=
\int
x_i'\rho(\mathbf{x}')d^3x'
$$
所以第二项写成：
$$
\frac{x_i}{r^3}
\int
x_i'\rho(\mathbf{x}')d^3x'
=
\frac{p_i x_i}{r^3}
$$
$p_i$表示的就是电荷在$x_i$即$x$方向的分布，具有方向性。实际上写成向量就是：
$$
\mathbf{p}=\int
\mathbf{x}'\rho(\mathbf{x}')\,d^3x'
$$
所以$p_ix_i=\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}$，沿不同方向电势也不同。这一项也就对应偶极子的电势：
$$
\Phi_1(\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}
\frac{p_i x_i}{r^3}
$$
第三项：
$$
\frac{1}{2}
\frac{1}{r^5}
\left(3x_ix_j-r^2\delta_{ij}\right)
\int
x_i'x_j'\rho(\mathbf{x}')d^3x'
$$
令：$M_{ij}=\int x_i’x_j’\rho(\mathbf{x}’)d^3x’$，也就是用两个方向的$x’$给电荷密度加权，那么第三项化简为：
$$
\frac{1}{2}
\frac{
\left(3x_ix_j-r^2\delta_{ij}\right)M_{ij}
}{r^5}
=\frac{1}{2}
\frac{
3M_{ij}x_ix_j-r^2M_{ii}
}{r^5}
$$
其中第二项里面的：
$$
\begin{aligned}
\delta_{ij}M_{ij}
&=M_{ii}\\
&=\int x_i'x_i'\rho(\mathbf{x}')d^3x'\\
&=\int r'^2\rho(\mathbf{x}')d^3x'\\
\end{aligned}
$$
$M_{ij}$描述了电荷分布的二阶空间信息，例如电荷更多分布在 $x$ 方向还是 $z$ 方向，有没有 $xy$ 这种斜向相关。但是 $M_{ij}$ 还包含一个球对称的迹部分$M_{ii}$，与方向性无关，只表示整体离原点的均方半径式信息。
于是我们把迹的部分去掉，定义四极矩张量为：
$$
\begin{aligned}
Q_{ij}
&=3M_{ij}-M_{kk}\delta_{ij}\\
&=
\int
\left(
3x_i'x_j'-r'^2\delta_{ij}
\right)
\rho(\mathbf{x}')
d^3x'
\end{aligned}
$$
验证一下，计算$Q_{ii}$，三维空间下$\delta_{ii}=3$，$x_i’x_i’=r’^2$，代入它们有：
$$
\begin{aligned}
Q_{ii}&=\int\left(3x_i'x_i'-r'^2\delta_{ii}\right)\rho(\mathbf{x}')\,d^3x'\\
&=\int
(3r'^2-3r'^2)
\rho(\mathbf{x}')
\,d^3x'=0
\end{aligned}
$$
所以它是无迹的，只保留真正的二阶方向性信息。
综上所述，直角坐标下的多极子展开可以写作：
$$
\boxed{
\Phi(\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}
\left[
\frac{q}{r}
+
\frac{p_i x_i}{r^3}
+
\frac{1}{2}
\frac{Q_{ij}x_i x_j}{r^5}
+\cdots
\right]
}
$$
另一种理解方式
$Q_{ij}$是一个二阶张量。二阶张量就是一个函数：
$$
Q:V\times V\to \mathbb R
$$
它“吃”进去两个向量，“吐”出一个数。四极矩张量正具有这种形式。不要忘了，我们上面使用了爱因斯坦求和规则，第三项是对$i,j$全部求和，因此：
对于电荷分布 $\rho(\mathbf{x}’)$，四极矩可以直接定义成一个双线性函数：
$$
Q(\mathbf{v},\mathbf{w})=
\int\rho(\mathbf x')\left[
3(\mathbf x' \cdot \mathbf v)(\mathbf x' \cdot \mathbf w)
-r'^2(\mathbf v \cdot \mathbf w)
\right]d^3x'
$$
这里 $\mathbf v,\mathbf w$ 是任意两个向量。这里，二阶张量就是一个矢量函数的版本。它作用于 $\mathbf v,\mathbf w$，最后积分出来一个数。它对两个输入分别线性。有：
$$
Q(a\mathbf v_1+b\mathbf v_2, w)=aQ(\mathbf v_1,\mathbf w)+bQ(\mathbf v_2,\mathbf w)\\
Q(\mathbf v, a\mathbf w_1+b\mathbf w_2)=aQ(\mathbf v,\mathbf w_1)+bQ(\mathbf v,\mathbf w_2)
$$
上面写的$Q_{ij}$就是这个函数在基底上的分量。取一组基向量$\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3$，定义：
$$
Q_{ij}=Q(\mathbf e_i,\mathbf e_j)
$$
代入刚才的函数，得：
$$
Q_{ij}=\int\rho(\mathbf x')\left[3(\mathbf x'\cdot\mathbf e_i)(\mathbf x' \cdot\mathbf e_j)-r'^2(\mathbf e_i\cdot \mathbf e_j)
\right]
\,d^3x'
$$
在直角正交基下：
$$
\mathbf{x}'\cdot \mathbf e_i=x_i'\\
\mathbf e_i\cdot \mathbf e_j=\delta_{ij}
$$
所以就得到了刚才的四级矩分量：
$$
Q_{ij}=
\int
\left(
3x_i'x_j'-r'^2\delta_{ij}
\right)
\rho(\mathbf{x}')
d^3x'
$$
所以，$Q_2(\mathbf r,\mathbf r)=Q_{ij}x_i x_j$，第三项（四极项）就可以写作：
$$
\Phi_2(\mathbf x)=
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}
\frac{1}{2}
\frac{Q_2(\mathbf r,\mathbf r)}{r^5}
$$
同理，偶极矩也可以按照这种方式理解。偶极矩可以看成一阶张量，也就是一个线性函数：
$$
p:V\to \mathbb R
$$
定义为
$$
p(\mathbf{v})=\int
\rho(\mathbf{x}')
(\mathbf{x}'\cdot \mathbf v)
\,d^3x'
$$
它吃进去一个向量 $\mathbf v$，吐出一个数。在直角坐标基上：
$$
p_i=p(\mathbf e_i)=\int\rho(\mathbf{x}')x_i'\,d^3x'
$$
所以$p(\mathbf r)=p_i x_i$，偶极项可以写成
$$
\Phi_1(\mathbf x)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}
\frac{p(\mathbf r)}{r^3}
$$
偶极矩$\mathbf p=\int \mathbf x’\rho(\mathbf x’)\,d^3x’$依赖原点选择。如果总电荷 $q\neq 0$，平移原点会改变 $\mathbf p$。四极矩也依赖原点。综上，多极子展开可以看成展开成多个无迹张量（也就是作用于$\mathbf x$的函数），$Q_0$是零阶张量，也就是一个数；$Q_1$是一阶张量，作用于一个向量；$Q_2$是二阶张量，作用于两个向量；电八极矩是三阶张量，作用于三个矢量。因此，直角坐标的电势多极子展开按照张量的形式就可以写作：
$$
\boxed{
\Phi(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{Q_0}{r}+\frac{Q_1(\mathbf r)}{r^3}+\frac{1}{2!}\frac{Q_2(\mathbf r,\mathbf r)}{r^5}+\frac{1}{3!}\frac{Q_3(\mathbf r,\mathbf r,\mathbf r)}{r^7}+\cdots\right]
}
$$
不同阶张量作用于不同阶向量后，每一项都变成一个数，所以电势 $\Phi$ 仍然是标量。
刚才说到$Q_{ij}$是无迹的，也可以用这种方式理解。
对二阶张量 $Q$，在正交基下迹是
$$
Q_{ii}=Q(\mathbf e_1,\mathbf e_1)+Q(\mathbf e_2,\mathbf e_2)+Q(\mathbf e_3,\mathbf e_3)
$$
也就是把两个输入都取成同一个基向量，然后三个方向加起来。
对四极矩：
$$
Q(\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_i)=
\int\rho(\mathbf x')\left[
3(\mathbf x' \cdot \mathbf e_i)^2
-r'^2(\mathbf e_i \cdot \mathbf e_i)
\right]d^3x'
$$
对 $i=1,2,3$ 求和：
$$
\begin{aligned}
Q_{ii}&=\int\rho(\mathbf x')\left[3(x_1'^2+x_2'^2+x_3'^2)-r'^2(1+1+1)\right]\,d^3x'\\
&=\int\rho(\mathbf{x}')(3r'^2-3r'^2)\,d^3x'
=0
\end{aligned}
$$
所以四极矩是无迹的。
球坐标的多极子展开
电势为：
$$
\Phi(x)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|}\,d^3x\
$$
利用余弦定理，分母可以写作：
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|}
&= \frac{1}{\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\cos\alpha}} \\
&= \frac{1}{r}\frac{1}{\sqrt{1-2\frac{r'}{r}\cos\alpha+\left(\frac{r'}{r}\right)^2}}
\end{aligned}
$$
Legendre多项式的生成函数为：
$$
\frac{1}{\sqrt{1-2\frac{r'}{r}\cos\alpha+\left(\frac{r'}{r}\right)^2}}
=
\sum_{\ell=0}^{\infty} P_\ell(\cos\alpha)
\left(\frac{r'}{r}\right)^\ell
$$
同时利用球谐函数的加法定理（addition theorem）：
$$
P_\ell(\cos\alpha)=\frac{4\pi}{2\ell+1}\sum_{m=-\ell}^{m=\ell}Y_{lm}^*(\theta',\phi')Y_{lm}(\theta,\phi)
$$
带入上两式，得到分母为：
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|}
&= \sum_\ell\frac{r'^{\ell}}{r^{\ell+1}}P_\ell(\cos\alpha)\\
&= \sum_\ell\sum_{m}\frac{4\pi}{2\ell+1}\frac{r'^\ell}{r^{\ell+1}}Y^*_{\ell m}Y_{\ell m}
\end{aligned}\\
$$
因为$r, \theta, \phi$是观察点坐标，$\Phi$也只是观察点的函数，所以源点$\mathbf{x}’$的积分$\int d^3x’$不影响电势的取值，把它提出来，得到：
$$
\Phi(\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{\ell,m}\frac{4\pi}{2\ell+1}\frac{Y_{\ell,m}(\theta,\phi)}{r^{\ell+1}}\int Y^*_{\ell m}(\theta'\phi')r'^\ell\rho(\mathbf{x}')\,d^3x'
$$
同时，令这个与源点有关的项为：
$$
q_{\ell m}=\int Y^*_{\ell m}(\theta',\phi')r'^\ell\rho(\mathbf{x}')\,d^3x'
$$
最后电势就写作：
$$
\boxed{
\Phi(\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{\ell,m}\frac{4\pi}{2\ell+1}q_{\ell m}\frac{Y_{\ell,m}(\theta,\phi)}{r^{\ell+1}}
}
$$
因为函数$Y_{\ell m}/r^{\ell+1}$在角度变量上是正交的，源点区域外的电势满足拉普拉斯方程（实质上也就是分离变量），所以可以把前的$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{4\pi}{2\ell+1}q_{\ell m}$看作展开系数，也就是按照球谐函数展开。可以联想氢原子波函数的角向图像，其中每一项也有下面类似的形式。
$q_{\ell m}$中含有了源点的全部信息，也就是电荷分布具有怎样的角向形状。对应的就是直角坐标里的多极矩。
比如，若$\ell=0$，那么只有一个$m=0$，$Y_{00}=1/\sqrt{4\pi}$，$q_{00}$就是球对称部分：
$$
q_{00}=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}
\int
\rho(\mathbf{x}')\,d^3x'
$$
因为总电荷$q=\int\rho(\mathbf{x}’)\,d^3x’$，这一项也就是总电荷的常数倍，是球对称的。
$\ell=1$，球谐函数$Y_{1m}$有三个：$Y_{1,-1}$，$Y_{10}$，$Y_{11}$，所以 $\ell=1$ 有三个多极矩，正好对应直角坐标里的偶极矩三个分量$p_x$，$p_y$，$p_z$，只是基底是球谐函数基。也就是说$r’Y_{1m}(\theta’,\phi’)$本质上就是 $x’,y’,z’$ 的线性组合。
例如，
$$
Y_{10}=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\frac{z'}{r'}
$$
所以
$$
q_{10}
=
\sqrt{\frac{3}{4\pi}}
\int z'\rho(\mathbf{x}')\,d^3x'
=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}p_z
$$
另外两个 $m=\pm1$ 和 $x,y$ 有关：
$$
q_{11}=
-\sqrt{\frac{3}{8\pi}}(p_x-ip_y)
$$
$$
q_{1,-1}=
\sqrt{\frac{3}{8\pi}}(p_x+ip_y)
$$
所以三个$q$就是三个偶极矩$p$换了一套基之后的三个分量。
$\ell=2$，$m=0,\pm1,\pm2$，有五个$q$，对应的就是直角坐标的四级矩张量$Q_{ij}$；为什么是五个？这是一个二阶张量，$ij$对称，三维空间，所以可以写成一个$3\times3$的矩阵。本来有$9$个矩阵元，但是关于主对角线对称，就只剩下$6$个。又因为电四级矩是一个无迹张量，$\operatorname{tr}T_{ij}=0$，又少一个自由度。所以只剩下$5$个分量。
比如，$\ell=2$，$m=0$，球谐函数为：
$$
Y_{20}=\sqrt{\frac{5}{16\pi}}(3\cos^2\theta'-1)
$$
代入$\cos\theta’=z’/r’$，得到：
$$
q_{20}=\sqrt{\frac{5}{16\pi}}\int(3z'^2-r'^2)\rho(\mathbf{x}')\,d^3x'
$$
而直角坐标系下，
$$
Q_{zz}=\int(3z'^2-r'^2)\rho(\mathbf{x}')\,d^3x'
$$
正是$q_{20}$的常数倍，这说明，$q_{2m}$对应的就是四级矩张量的某个分量。其他对应$Q_{ij}$的其他组合。
因此，可以把 $\ell$ 理解成角向图案的复杂程度。$\ell=0$ 是常数，没有方向差别。看起来每个方向都一样，所以是球对称。$\ell=1$ 有一个正负方向的差别。比如沿 $z$ 方向，上半边和下半边符号相反。它描述一阶偏向，所以对应偶极。$\ell=2$ 有更复杂的二阶方向差别，所以对应四极。$q_{2m}$就是张量$Q_{ij}$在球谐函数基下的分量。
所以把电势按球谐函数展开，实际上相当于是把电势在方向上的形状进行分类，就如同氢原子的不同波函数图像：$\ell=0$ 只看总量；$\ell=1$ 有坐标偏向；更高的 $\ell$ 有更细的角向结构。在直角坐标里叫$q, p_i,Q_{ij}$，球坐标里统一叫$q_{\ell m}$，这描述的实际上是同一个多极展开。
所以，多极展开就是把复杂电荷分布在远处产生的电势，按距离衰减和角向形状分层求和。球坐标写法给出 $q_{lm}$，直角坐标写法给出 $q,p_i,Q_{ij}$。其中 $Q_{ij}$ 是四极矩张量，按照张量规律变换。
参看：
- J. D. Jackson, Classical Electrodynamics (3rd ed.). New York: John Wiley & Sons. Chapter 3 & 4
- Nadir Jeevanjee, An Introduction to Tensors and Group Theory for Physicists. Birkhäuser. Chapter 1 & 3, especially example 3.4
- https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_harmonics
- https://en.wikipedia.org/wiki/Multipole_expansion
最后，我不相信本文没有任何错误。如果你发现了错误请留言。